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利用直尺和量角器將線段黃金分割
圖一

利用直尺和量角器將線段黃金分割

在我們的最近刊物,第 28 期《石氏基金會季刊》,第 24 頁上,裴宏恩先生著文《美的數,美的物,美的人體,美的腦》的第二段裡,讀到了「黃金分割」。我現在提供一個小小的發明,即給出「利用直尺和量角器將一線段黃金分割」之方法如下:

對線段 A B(圖一),用直尺及量角器,作 ∠D1AB=36°,∠D2BA=72°,設 A D1 與 B D2 交於 D,同法作∠BDD3=36°,設 D D3 交 A B 於 C,則點 C 黃金分割線段 A B。

證明:

∵∠DCB=180°–72°–36°=72°
∴∠DCB=∠B ………… (1)
∵∠ADC=∠DCB–∠A=72°–36°=36°
∴∠ADC=∠A ………… (2)
∵∠ADB=∠ADC+∠BDC=36°+36°=72°
∴∠ADB=∠B ………… (3)

由(1),(2),(3)知:

DB=DC …(4)
DC=AC …(5)
AD=AB …(6)

於是,AB:AC =[由(6)] AD:AC =[由(5)] AD:CD

[由(4)] AD:DB = AC:CB

(∵DC 平分 ∠ADB,角平分線定理)

此即 C 黃金分割線段 AB 之義(AB:AC=AC:CB)

結論:

(1)傳統的尺規作圖方法解決黃金分割問題是不方便的,我的方法就比較方便,因而實用。

(2)我覺得上述容易操作的實用方法應該是美術工作者所樂於採用的,故為之而成文,供他們參考。